2014年6月3０日
学べたこと
ソート済みの配列から任意の要素を探索する一番有名？なアルゴリズム。
単純なループ処理で見つけりとO(N)かかるところをO(logN)で求めることができる！
応用が効くのでアルゴリズム入門にGOOD!
1.配列の中間の要素と調べたい要素の大小を調べる
2-a.調べたい要素の方が大きければ探索範囲を(中間~最後)の範囲に絞る
2-b.調べたい要素の方が小さければ探索範囲を(最初~中間) の範囲に絞る
＞1,2の繰り返し
2-bit全探索
「9章アメリカズ・ゴット・タレント」で出てくる。
名前の通り全探索です。組み合わせの全列挙とかで使える。
計算量が指数的O(2**N)に増えるので N=20~30ぐらいが限界だが、bitの勉強にもなるのでコスパよし！
- 入力された数字(s)とsの間(len(s)-1)と考える
- sの間をbit探索して1なら'+', 0だと何も入れない。
- 作った式を都度計算して結果を足していく
- 上記全パターンを探索する
関数の中で自分を呼び出す処理をする。
当書の目玉！
後半は再帰を使わないとほとんど解けないが、理解が難しく苦戦したポイント。
単純な再帰だと計算量が多くなりすぎるのでメモ化と併用されることが多い。
フィボナッチ数列を再帰で求める タイル並べとフィボナッチ数列の関係
*フィボナッチ数列:数列のi番目がi-1番目とi-2番目の和になっている数列
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
-
タイル並べとフィボナッチ数列の関係
- 基底部分を決める。今回は配列の0番目と1番目を基底部にする。
- i-1とi-2の和をひたすら再帰
- i番目をメモしておくと効率が良い
4-マージソート
「11章 中庭にタイルを敷く」で出てくる。
ソートアルゴリズムのうちの一つ
最小要素まで2分割してソートしたものを結合していく。
一般に計算量O(N*logN)と高速だが、メモリを大量に使うのが欠点
再帰で実装する。
1. 基底部を書く。今回は要素が二つ以下の時に二要素をソートする タイル並べとフィボナッチ数列の関係
2. 配列を二分割する
3. 二分割した配列をソートしながらマージ
4. 2,3を再帰
5-クイックソート
一般に計算量O(N*logN)と高速。
マージソートと違い、元のリストだけを並び替えていくのでメモリに優しい。 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
関係ないがpythonの組込sort関数はティムソートと呼ばれるアルゴリズムらしい。
再帰で実装する。
元のリストを並び替えていくことに注意！
1. 基底部を書く。今回は要素数が1の時に再帰処理を終了
2. pivotを決める
3. pivotより大きい要素と小さい要素に分ける処理を作成
4. それぞれの要素に関して再帰
6-深さ優先探索
「19章 忘れられない週末」で出てくる。
グラフの探索に使うアルゴリズム。
1. ノードがなくなるまで探索
2. 分岐に戻る
1, 2の繰り返し。
実装は再帰で行う他にstackで管理するやり方もある。
グラフが2部グラフかチェックするコードを書く
2部グラフ：グラフを2分割したとき集合の中で頂点が隣接しないグラフ
参考：https://ja.wikipedia.org/wiki/2部グラフ
グラフを色分けした時に2色(red, blue)だけで表現することができるか確かめる
２色で表現できる=>2部グラフ
表現できない=>2部グラフでない
- 基底部を考える。
- 色を塗ってないノードに達した時、色を塗る
- 色が既に塗ってあるノードに達した時
- 塗る予定の色が同じ色ならスキップ
- 塗る予定の色と違う色なら2部グラフでない
7-幅優先探索
「20章 6次の隔たり」で出てくる。
深さ優先探索と似ている。
最短経路を見つける時には幅優先探索を使った方が良い。
1. 一番近いノードをすべて探索する
2. 二番目に近いノードをすべて探索する
.
n. n番目に近いノードをすべて探索する探索したノード、探索するノードをそれぞれvisited, frontearとして管理
1. ルートノードから探索を始める。
1-a. 初めて探索するノードならメモに保存。次に探索するノードに隣接ノードを追加する。
1-b. 探索済ノードなら何もしない タイル並べとフィボナッチ数列の関係
2. frontearが存在しなくなるまで探索する。新 和風建築BBS Japan Feng Shui Architecture WATSUBASA
前のページで、地球の北半球で 使用する風水盤は、数字遊び”魔方陣”の形をしていることを 書きました。縦横斜め、どこのラインの合計も １５となっています。
風水盤の謎
この状況も、古代中国の賢人が ”五”を 特別扱いした理由の１つですが、これ以外にもあります。
フォボナッチ数列 という数字の並びをご存知でしょうか？
Wiki ではこちらになります。
フィボナッチ数列
０からスタートして次が１。
その次は、1つ前の数字と２つ前の数字を足して ０+１＝１
その次は、1つ前の数字（１）と２つ前の数字（１）を足して １+１＝２
その次は、１つ前の数字（２）と2つ前の数字（１）を足して １+２＝３
その次は 1つ前の数字（３）と2つ前の数字（２）を足して ３+２＝５
その次は 1つ前の数字（５）と2つ前の数字（３）を足して ５+３＝８と永遠に 大きな数字に続いていく 数列の事を言います。
０
1
1
2
3
5
8
13
21
34 と続いていきます。もうちょっと行くと
55 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
89
144
233
377
610
987
1597 と永遠に増えていきます。この数列は少し面白い特性がありまして
この数列の前後の数字で、割り算をして さらに数列を作ってみます。
１÷０＝？？？
１÷１＝１
２÷１＝２
３÷２＝1.5
５÷３＝1.666・・・
８÷５＝1.6
１３÷８＝1.625
２１÷１３＝1.61538
３４÷２１＝1.619047
５５÷３４＝1.617647
８９÷５５＝1.6181818
１４４÷８９＝1.617977
２３３÷１４４＝1.タイル並べとフィボナッチ数列の関係 6180555
３７７÷ ２３３＝1.6180257
６１０÷３７７＝1.618037135
９８７÷６１０＝1.6180327
１５９７÷９８７＝1.6180344 と続きます。この 1.618・・・という無理数。これは”黄金率” と呼ばれています。
方程式で表すと ”（１+√５）÷２ ” ”1.618033989・・・・”という無理数になります。
この”黄金率”は 皆さん既にご存知かと思いますが、
地球上の生物や植物など、自然にある動植物の形状・縦横比が この比率に近いと
言われています。またこの比率が美術的にもっとも美しい四角形を造るとも言われています。
レオナルドダビンチなどが この比率を多様した美術品を製作し
ひまわりの種のでき方、巻貝の貝の断面形状など、なぜか？この比となっています。ここに、”√５” ５ という数字が出現しましたね。
√５＝2.236067978・・・となる無理数です。
この永遠と続く 小数点以下の無理数に、”何かしら意味がある”ことがわかります。今度は 正五角形の図を見てください。
正五角形の 対角線を全て引くと、☆の形の図形ができます。
画像のように、１本の対角線が他の対角線によって切断されたとき、2本の線分が生まれますが、
この２本の線分の長さの比が、”１：１.６１８” 黄金率となります。
当然に ピンクと緑の面積比も、黄金率となります。
この正五角形の対角線で作られた２つの図形から、ペンローズタイルができます。
ペンロースタイルは この４次元の世界で、2種類の図形をつかった 非周期的平面充填形の唯一のものです。
これ以外には 存在しないのです。
Wiki ではこちらになります。
ペンローズタイル
黄金比の四角形は、短辺で切断すると 残された四角形は必ず 黄金比の四角形となります。
この頂点を結んだ曲線を ”黄金の回転” などと言ったりします。
（１）１から９の数字をつかった ３×３の魔方陣。
（２）フィボナッチ数列の 前後の数字の割り算で 収束する値。
（３）正五角形の対角線の比
（４）黄金比四角形の 永遠の回転
（５）ペンローズタイルタイル並べとフィボナッチ数列の関係
これら、全て独立した発想で生まれた数列・比ですが、全てに √５ もしくは ５が 関係しています。
古代の賢人が ”５”という数字を特別扱いしたのは この状況に 神の存在を感じ取ったからです。皆さんも この世の中心には 何か”５”に関係する 神・創造主の意識が存在すると、感じませんか？。
アインシュタインも これにより 神の存在を感じ 最後まで信じていました。
これが 陰陽”五"行 である 理由です。また五黄土星が その位置によって世界の吉凶を左右する
とされた理由も これにあります。風水は、紛れもなく、”物理” なんですね。
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2014年6月3０日
In Japan
Suunsetberch Berth house
construction タイル並べとフィボナッチ数列の関係
2014年6月30日
関係者の皆様 お疲れ様でした【書評】 数学から創るジェネラティブアート - Processingで学ぶかたちのデザイン
巴山先生は“ 「美しさ」が必ず数学的な構造を孕んでいるとも限りません”と述べつつも、「数学的な構造からかたちを作ることにより、かたちの秩序や規則性をつくることができます。～中略～ 美しいとされるかたちの性質の根拠には自己相似性があります」とも述べています。巴山先生の本を読んで私は、秩序と規則性が数学とアートを繋げる架け橋だと理解しました。巴山先生がデザインを生成するサンプルプログラムを公開してくださっていますので、以下に紹介します。
l フィボナッチ数列と黄金数
フィボナッチ数列は、下記のようにとても単純な数列です。
タイル並べとフィボナッチ数列の関係
正方形を敷き詰めていけば、黄金数になるなんて、デザインが得意でない私にとってはとても助かります。巴山先生は、このフィボナッチ数列を使って、“かたち”を生成するプログラムを processing （※）という言語を使って紹介しています。 巴山先生のプログラミングを実行してみた結果が、こちらです。※ Processing ：電子アートとビジュアルデザインのためのプログラミング言語。 Web ページ からインストールせずに、プログラムを実行が可能。
二項係数とは、下記の通り、 (a+b) の n 乗の係数を指します。
二項係数を、三角形に並べ、全ての数値を 2 で割って余りが１の部分だけ色を塗ると、以下のようになります。
タイリングとは、平面を決まった種類の図形で埋めることです。レンガの壁や お風呂の タイル張りなどで見るデザインですね。
巴山先生は タイル並べとフィボナッチ数列の関係 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 、「ジェネラティブアートは、動かしてみないと分からない何かを引き起こす道具 」 であり、「秩序と無秩序の合間を探求が醍醐味 」 であると述べています。
近年は、数式の代わりに、 AI を使ってアートを創り出そうという試みが多く行われていますが、巴山先生のおっしゃる通り、コンピュータを使ったアートの醍醐味は 秩序と無秩序の間を探求することで、私の解釈では、 何かアイデア を 仕込む事が一番の楽しみであり、作品の個性になるのだと思います。
Processing は Web ブラウザで実行できるフリーのソフトウェアです。また、 livecodelab というサイトでもプログラミングによるデザインの生成で遊ぶ事ができます。
ビジュアル 数学全史
はじめに
訳者まえがき
紀元前1億5000万年ころ アリの体内距離計
紀元前3000万年ころ 数をかぞえる霊長類
紀元前100万年ころ セミと素数
紀元前10万年ころ 結び目
紀元前1万8000年ころ イシャンゴ獣骨
紀元前3000年ころ キープ
紀元前3000年ころ サイコロ
紀元前2200年ころ 魔方陣
紀元前1800年ころ プリンプトン322
紀元前1650年ころ リンド・パピルス
紀元前1300年ころ 三目並べ
紀元前600年ころ ピタゴラスの定理とピタゴラス三角形
紀元前548年 囲碁
紀元前530年ころ ピタゴラス教団の誕生
紀元前445年ころ ゼノンのパラドックス
紀元前440年ころ 弓形の求積法
紀元前350年ころ プラトンの立体
紀元前350年ころ アリストテレスの『オルガノン』
紀元前320年ころ アリストテレスの車輪のパラドックス
紀元前300年 ユークリッドの『原論』
紀元前250年ころ アルキメデスの『砂粒』『牛』『ストマキオン』
紀元前250年ころ 円周率π
紀元前240年ころ エラトステネスのふるい
紀元前240年ころ アルキメデスの半正多面体
紀元前225年 アルキメデスのらせん
紀元前180年ころ ディオクレスのシッソイド
150年ころ プトレマイオスの『アルマゲスト』
250年 ディオファントスの『算術』
340年ころ パッポスの六角形定理
350年ころ バクシャーリー写本
415年 ヒュパティアの死
650年ころ ゼロ
800年ころ アルクィンの『青年たちを鍛えるための諸命題』
830年 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 アル=フワーリズミーの『代数学』
834年 ボロミアン環
850年 『ガニタサーラサングラハ』
850年ころ サービトの友愛数の公式
953年ころ 『算術について(インド式計算について諸章よりなる書)』
1070年 オマル・ハイヤームの『代数学』
1150年ころ アッ=サマウアルの『代数の驚嘆』
1200年ころ そろばん
1202年 フィボナッチの『計算の書』
1256年 チェス盤上の麦粒
1350年ころ 調和級数の発散
1427年ころ 余弦定理
1478年 『トレヴィーゾ算術書』
1500年ころ 円周率の級数公式の発見
1509年 黄金比
1518年 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 『ポリグラフィア』
1537年 航程線
1545年 カルダノの『アルス・マグナ』
1556年 『スマリオ・コンペンディオソ』
1569年 メルカトール図法
1572年 虚数 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
1611年 ケプラー予想
1614年 対数
1621年 計算尺
1636年 フェルマーのらせん
1637年 フェルマーの最終定理
1637年 デカルトの『幾何学』
1637年 カージオイド
1638年 対数らせん
1639年 射影幾何学
1641年 トリチェリのトランペット
1654年 パスカルの三角形
1657年 ニールの放物線
1659年 ヴィヴィアーニの定理
1665年ころ 微積分の発見
1669年 ニュートン法
1673年 等時曲線問題
1674年 星芒形
1696年 ロピタルの『無限小解析』
1702年 地球を取り巻くロープのパズル
1713年 大数の法則
1727年 オイラー数e
1730年 スターリングの公式
1733年 正規分布曲線
1735年 オイラー・マスケローニの定数
1736年 ケーニヒスベルクの橋渡り
1738年 サンクトペテルブルクのパラドックス
1742年 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 ゴールドバッハ予想
1748年 アニェージの『解析教程』
1751年 オイラーの多面体公式
1751年 オイラーの多角形分割問題
1759年 騎士巡回問題
1761年 ベイズの定理
1769年 フランクリン魔方陣
1774年 極小曲面
1777年 ビュフォンの針
1779年 36人の士官の問題
1789年ころ 算額の幾何学
1795年 最小二乗法
1796年 正十七角形の作図
1797年 代数学の基本定理
1801年 ガウスの『数論考究』
1801年 三桿分度器
1807年 フーリエ級数
1812年 ラプラスの『確率の解析的理論』
1816年 ルパート公の問題
1817年 ベッセル関数
1822年 バベッジの機械式計算機
1823年 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 コーシーの『微分積分学要論』
1827年 重心計算
1829年 非ユークリッド幾何学
1831年 メビウス関数
1832年 群論
1834年 鳩の巣原理
1843年 四元数
1844年 超越数
1844年 カタラン予想
1850年 シルヴェスターの行列
1852年 四色定理
1854年 ブール代数
1857年 イコシアン・ゲーム
1857年 ハーモノグラフ
1858年 メビウスの帯
1858年 ホルディッチの定理
1859年 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 リーマン予想
1868年 ベルトラミの擬球面
1872年 ワイエルシュトラース関数
1872年 グロの『チャイニーズリングの理論』
1874年 コワレフスカヤの博士号
1874年 15パズル
1874年 カントールの超限数
1875年 ルーローの三角形
1876年 調和解析機
1879年 リッティ・モデルIキャッシュレジスター
1880年 ベン図
1881年 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 ベンフォードの法則
1882年 クラインのつぼ
1883年 ハノイの塔
1884年 フラットランド
1888年 四次元立方体
1889年 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 ペアノの公理
1890年 ペアノ曲線
1891年 壁紙群
1893年 シルヴェスターの直線の問題
1896年 素数定理の証明
1899年 ピックの定理
1899年 モーリーの三等分線定理
1900年 ヒルベルトの23の問題
1900年 カイ二乗検定
1901年 ボーイ曲面
1901年 床屋のパラドックス
1901年 ユングの定理
1904年 ポアンカレ予想
1904年 コッホ雪片
1904年 ツェルメロの選択公理
1905年 ジョルダン曲線定理
1906年 トゥーエ-モース数列
1909年 ブラウアーの不動点定理
1909年 正規数
1909年 ブールの『代数の哲学と楽しみ』
1910–1913年 『プリンキピア・マテマティカ』
1912年 毛玉の定理
1913年 無限の猿定理
1916年 ビーベルバッハ予想
1916年 ジョンソンの定理
1918年 ハウスドルフ次元
1919年 ブルン定数
1920年ころ グーゴル
1920年 アントワーヌのネックレス
1921年 ネーターの『イデアル論』
1921年 超空間で迷子になる確率
1922年 ジオデシック・ドーム
1924年 アレクサンダーの角付き球面
1924年 バナッハ-タルスキのパラドックス
1925年 長方形の正方分割
1925年 ヒルベルトのグランドホテル
1926年 メンガーのスポンジ
1927年 微分解析機
1928年 ラムゼー理論
1931年 ゲーデルの定理
1933年 チャンパノウン数
1935年 秘密結社ブルバキ
1936年 フィールズ賞 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
1936年 チューリングマシン
1936年 フォーデルベルクのタイリング
1937年 コラッツ予想
1938年 フォードの円
1938年 乱数発生器の発達
1939年 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 誕生日のパラドックス
1940年ころ 外接多角形
1942年 ボードゲーム「ヘックス」
1945年 ピッグ・ゲームの戦略
1946年 ENIAC
1946年 フォン・ノイマンの平方採中法
1947年 グレイコード
1948年 情報理論
1948年 クルタ計算機
1949年 チャーサール多面体
1950年 ナッシュ均衡
1950年ころ 海岸線のパラドックス
1950年 囚人のジレンマ
1952年 セル・オートマトン
1957年 マーティン・ガードナーの数学レクリエーション
1958年 ギルブレスの予想
1958年 球面の内側と外側をひっくり返す
1958年 プラトンのビリヤード
1959年 外接ビリヤード
1960年 ニューコムのパラドックス
1960年 シェルピンスキ数
1963年 カオスとバタフライ効果 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
1963年 ウラムのらせん
1963年 連続体仮説の非決定性
1965年ころ スーパーエッグ
1965年 ファジィ論理
1966年 インスタント・インサニティ
1967年 ラングランズ・プログラム
1967年 スプラウト・ゲーム
1968年 カタストロフィー理論
1969年 トカルスキーの照らし出せない部屋
1970年 ドナルド・クヌースとマスターマインド
1971年 エルデーシュの膨大な共同研究
1972年 最初の関数電卓HP-35
1973年 ペンローズ・タイル
1973年 美術館定理
1974年 ルービック・キューブ
1974年 チャイティンのオメガ
1974年 超現実数
1974年 ペルコの結び目
1975年 フラクタル
1975年 ファイゲンバウム定数
1977年 公開鍵暗号
1977年 シラッシ多面体
1979年 池田アトラクター
1979年 スパイドロン
1980年 マンデルブロー集合
1981年 モンスター群
1982年 n次元球体内の三角形
1984年 ジョーンズ多項式
1985年 ウィークス多様体
1985年 アンドリカの予想
1985年 ABC予想
1986年 読み上げ数列
1988年 Mathematica
1988年 マーフィーの法則と結び目
1989年 バタフライ曲線
1996年 オンライン整数列大辞典
1999年 エターニティ・パズル タイル並べとフィボナッチ数列の関係
1999年 四次元完全魔方陣
1999年 パロンドのパラドックス
1999年 ホリヘドロンの解決
2001年 ベッドシーツ問題
2002年 オワリ・ゲームの解決
2002年 テトリスはNP完全
2005年 NUMB3RS 天才数学者の事件ファイル
2007年 チェッカーの解決
2007年 例外型単純リー群E8の探求
2007年 数学的宇宙仮説クリフォード・ピックオーバー（Clifford Pickover）
IBMワトソン研究所で研究開発に従事．『数学のおもちゃ箱』『オズの数学』など多数の著書が邦訳されている．極小美術館
畳の上に、種子を思わせる磁器の球体がばらばらと散らばっている。その中の1点に向かって、天井から糸が束になって下りている。隣の部屋では同様の球体が等間隔に列をなして整然と並び、一か所の角に2個分の空隙がある。これによって見る者は、球体の数、そして二つの赤い球を加えた白い球の配列を意識させられる。すると無造作に散らかって見えた隣室の状況が、天井から糸とともに降りてきた何かの作用によって球体が移動した結果であるように思えてくる。さらに近づけば、個々の球体の微妙な個性が見えてくる。
上記は2014年、富士の山ビエンナーレで展示された赤堀里夏のインスタレーションの情景である。赤堀は「陶芸家」ではない。本作品の、磁器でありながら釉薬とは異なる白色の、柔らかい表面の質感は、胡粉やシッカロールをかけて磨いたものだという。素材の磁土も、造形しやすい鉱物であることを理由に選んでいる。これまでも、床に大理石の粉を敷き詰めたり、染めた紙片を使ったりと、自身でも「自然素材という括りでの、緩い選択肢」というように、表現の要素に合わせて自由に素材や技法を選び、多様な作品を発表してきた。しかしその背景には、常に根本を見据える凛とした眼差しがある。
赤堀は1980年に岐阜に生まれ、18歳まで過ごした後に静岡大学で木彫を専攻。2003年にイタリアの伝統あるブレラ美術学校絵画科に入学し、2011年までイタリアを拠点に表現活動を続けていた。言語の違いによる困難を経験する中で、どの国でも共通の「数」に目を止め、シリーズで制作するテーマの一つとする。転換点として赤堀はメルロ・ポンティの言葉「私の身体はものの仲間であり、物の一つであり、世界という織物のうちに編み込まれている（後略）」（※）との出会いを挙げる。人間の創作行為とは、必然的なものによって織り上げられた世界の中に割って入ることといえよう。そうであれば、結果として生まれるものは、一個人の力を超える新たな必然であるべきではないか。
美術の世界において、特定の法則を示す数字は、古来魅力的な研究対象であった。例えば素数、フィボナッチ数列、黄金比などは、美の理由を読み解くキーワードとして便利に使われてきた側面がある。赤堀は、必然的に存在する数の法則自体に、世界を構成する大いなる力を感じ、種子を思わせる球体によってそれを実体化したのだ。数えるということは、視覚によって存在を確認することでもある。現代社会においては、モニターの中の平板な人工画像が日常世界における主要な視覚世界になりつつあるが、この背後にある実態は、電子的な「数字」でありながら数えることのできない、いわば「存在」のない視覚だけの世界ではないだろうか。ここで赤堀の作品を振り返ると、眼前にある存在に対する意識の回復を、静かに訴えかけてくるように感じられるのだ。
今回の展覧会は、赤堀にとって、一つの空間を使い切る初めての「個展」であり、「自画像」としてのインスタレーション作品になるという。その言葉には、自意識と外の世界との関係を問い直す、次の転換点を作る覚悟が感じられる。赤堀は展覧会の始まりは、作品が自らの手を離れていくときだとも話す。今回の展覧会からまた一つの作品が、あたかも彼女自身の細胞のように、必然として存在し始めるのだ。
armonia 百八つ（2014年制作）
200×200×270cm ミクストメディア
【略歴】 1980 岐阜市に生まれる。
静岡大学卒業後、イタリア国立ブレラ美術学校修了 【グループ展】 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 2003 てつそん2003 旧日の出小学校（東京） 2006 il cavaliere, la Morte e il Diavolo tadino16ギャラリー
（ミラノ・イタリア） 2006 idee per un matrimonio di Cristina Show Aldo タイル並べとフィボナッチ数列の関係 Spoldi企画
（バニョーロクレマスコ・イタリア） 2007 il mondo a brera 06-07 Tomaso Trini他,ブレラ美術アカデミー企画 villa Borromeo Visconti Litta
（ライナーテ・イタリア） 2008 lo specchio d'arte Pierluigi Buglioni企画 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 トレッツォ スッダーダ城
（トレッツォ スッダーダ・イタリア） 2008 Cristina Show Rolando Bellini企画 San Domenico劇場
（クレーマ / クレモナ・イタリア） 2008 il mondo a brera 07-08 ブレラ美術アカデミー企画 villa Borromeo Visconti タイル並べとフィボナッチ数列の関係 Litta（ライナーテ・イタリア） 2009 nuovo riciclato Ylbert Durishti企画 spazio taccoli（ミラノ・イタリア） 2009 premio nazionale delle arti 08 イタリア政府文化省主催 le ciminiere
（カターニア・イタリア） 2009 il mondo a brera 07-08 ブレラ美術アカデミー企画
（巡回展 インスブルグ・オーストリア / フェッラーラ ミラノ・イタリア） 2009 Biennale della Pietra Lavorata
（ストラーダ イン カゼンティーノ・イタリア） 2009 Rigenerazioni Loredana Parmesani企画 トッレフォルネッロ
（ツィアーノ ピアチェンティーノ・イタリア） 2010 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 il mondo a brera ブレラ美術アカデミー企画 villa Borromeo Visconti Litta
（ライナーテ・イタリア） 2010 la giovane scultura ビジェーバノ城回廊（ビジェーバノ・イタリア） 2010 InOpera 2010- sulle orme di padre Matteo Ricci ボナコルスィ邸美術館
（マチェラータ・イタリア） 2010 L’arte di vivere N.o.A. s.r.l（ミラノ・イタリア） 2010 サロンプリモ2010 Pallazzo della Permanete（ミラノ・イタリア） 2012 現代美術の新世代展2012 篠田守男＋極小美術館企画 極小美術館（岐阜） 2013 中之条ビエンナーレ（群馬） 2014 するがのくにの芸術祭 富士の山ビエンナーレ（静岡） 2015 中之条ビエンナーレ（群馬） 【パブリックコレクション】 ■ブレラ美術アカデミー アーカイブ（ミラノ・イタリア） ※開催時点 ※開催時点関連記事
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