フィボナッチ数列とは

フィボナッチ数列について（その２）－フィボナッチ数列はどこで使用され、どんな場面に現れてくるのか（自然界）－ | ニッセイ基礎研究所

フィボナッチ数列について（その２）－フィボナッチ数列はどこで使用され、どんな場面に現れてくるのか（自然界）－

保険研究部 研究理事 中村 亮一

葉序（植物の葉の付き方）

「葉序（ようじょ）（phyllotaxis）」というのは、植物の葉が茎に対して配列するときの様式をいう。この葉序は、主として以下の３つに分類される。

(1) １つの節（茎に葉がついている部分）に葉が1枚ついている「互生葉序」
(2) １つの節に2枚の葉をつける「対生葉序」
(3) １つの節に3枚以上の葉を生じる「輪生葉序」

1850年代に、ドイツの植物学者であるカール・フリードリヒ・シンパー（Karl Friedrich Schimper）とアレクサンダー・カール・ハインリヒ・ブラウン（Alexander Carl Heinrich Braun）は、葉序における数列と開度の関係に関する「シンパー‐ブラウンの法則（Schimper~Braun's Law）」と呼ばれる法則を発見し、葉序のタイプが、nを自然数として、以下の数式で表されることを示した。

さらに、二葉間の角度である「開度」が、以前の研究員の眼「黄金比φについて（その１）－黄金比とはどのようなものなのか－」(2020.11.10)で説明した「黄金角（約137.5度）」 1 に近づいていくことを示した。上記の式において、ｎ＝2の場合がフィボナッチ数列によるものとなる。

フィボナッチ数列とは

「1, 1, 2, 3, 5, 8, フィボナッチ数列とは 13, 21…」この数列をご存知でしょうか？

●黄金比との関係

数列は「1,1」から始まり、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. と続いていきます。

黄金比（人が美しいと感じる比率）の式は" 1 : 1.618。フィボナッチ数列を比率で表していくと

2 : 3 フィボナッチ数列とは ＝ 1 : 1.5、3 : 5 ≒ 1 : 1.666666、5 : フィボナッチ数列とは 8 ＝ 1 : 1.6、8 : 13 ＝ 1 : 1.625、13 : 21 ＝ 1 : 1.61538

フィボナッチ数列とは？ 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは？

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

自分で書いてみると簡単さがわかる

「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り？

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数（5通り）」は、2段目までの登り方の「場合の数（2通り）」と、3段目までの登り方の「場合の数（3通り）」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか？ 答えは、なんと987通り！ フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り？

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

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