デルタの定義

2022 6/15

2022-04-13

さいとう

デルタの意味

いろいろあります。 1)Δxとかの場合。増分。文字通りxの増加分。差分ともいうが、微妙に使い方が違う場合あり。これはもともと英語のdifferenceに由来し、ギリシア文字のdに相当するΔで表現したもの。 2)ラプラスの演算子。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F なぜこの記号なのかは不明。 3)Δ粒子いわゆる「素」粒子（現在は単に粒子という）や放射線などに名前を付けていく際に、ギリシア文字を使った関係でこの粒子はΔと呼ばれた。意味は特にないと思う。 4)その他。下の参考URLによると、エネルギーギャップ、平衡からのずれ、などがある。

質問者からのお礼 2006/03/05 12:46

その他の回答 (2)

2006/03/05 10:02 回答No.3

#2です。ちなみに#1さんの仰ってらっしゃるΔの用法は理科方面に限られ、数学では厳禁です。この場合微少変化と微分を同一視するわけで、Δx=dxといいきっても良いでしょう。数値微分とかはこういった考えで計算します。これで矛盾が生じる事は・・・・数学的にはあるので気をつけたいところです。また0.0000000000000000001というのも厳密には求める誤差と数値に影響されるため、絶対のものではないはずですが・・・・？つまり、結果（の数値）に大きな影響を与えない、ほとんど無視し得る変化（しかし変化ではある）をいうのですね。

2006/03/05 09:46 回答No.1

質問者からのお礼 2006/03/05 12:45

イプシロンデルタ論法をわかりやすく丁寧に～関数の極限の定義～

微分積分学(大学)

大学数学の微分積分学での最初の関門といえば，主に数列の極限を定義するデルタの定義 \varepsilon\textN 論法や，主に関数の極限を定義する \varepsilon\text\delta 論法でしょう。今回はそのうちの \varepsilon\text\delta 論法について 時間をかけて解説 していきます。ゆっくりと読み進めていきましょう。

数列の極限を定義するイプシロンエヌ論法は以下の記事で解説しています。両方読むことで，より理解が深まるでしょう。

ε-δ論法～関数の極限と連続の定義～

まずは \varepsilon\text\delta 論法による定義を2つ確認しましょう。

関数の極限の定義

関数の定義域は，簡単のため \mathbb デルタの定義とすることにしましょう。実際には a の近くで定義されていれば問題ありません。

定義（関数の極限）

f\colon \mathbb \to \mathbb, \, a\in \mathbb とする。このとき，

\lim_ f(x) = b, \quad f(x) \longrightarrow b \,\, (x\to a)

または f(x) が x \to a のとき b に 収束する (converge) とは，

任意の \boldsymbol 0> に対して，ある \boldsymbol < \delta >0> が存在して，

が成立することをいう。このときの b を x\to a としたときの f の極限 (limit) または 極限値 (limit value) という。

\color\begin&\forall \varepsilon>0 ,\exists \delta>0, \\ &0

とにかく難しいと思います。 \varepsilon\text N 論法と同様に，すぐに理解できる人はなかなかいないでしょう。数学者でも，最初は難しいと思ったに違いありません。自分もかなり苦戦しました。徐々に慣れていきましょう。

関数の連続の定義

定義（関数の連続）

f\colon \mathbb \to \mathbb, \, a\in \mathbb とする。このとき，

\lim_ f(x) = f(a), \quad f(x) \longrightarrow f(a) \,\, (x\to a)

任意の \boldsymbol 0> に対して，ある \boldsymbol < \delta >0> が存在して，

が成立することをいう。また，このとき f は x = a で連続 (continuous) であるという。

ε-δ論法の言葉の意味と「お気持ち」

ε-δ論法の言葉の意味

\varepsilon\text\delta 論法(連続)

任意の \varepsilon > 0 に対して ，ある \delta > 0 が存在し て，

ことば	意味
任意の～	全ての，どんな～でも
～に対して，	～に応じて，～に依存して
ある～が存在して	少なくとも一つ～を取ってこれる

「任意の」「存在」の2つはもちろん大切ですが，見落としなのが「～に対して」の部分で，これは「～に依存して」という意味です。今回の場合， \delta>0 の取り方は \varepsilon > 0 に依存している， \varepsilon>0 に応じて変わってもよい ということです。

なお，「ある～が存在して〇〇〇」という語順は，日本語では不自然ですが，英語の “There exists ~ such that 〇〇” に合わせたもので，「〇〇〇をみたす～が存在する」と同じ意味です。

どんなにテキトーな \varepsilon > 0 を取ってきても， それに応じて適切な \delta > 0 があって，

ε-δ論法の「お気持ち」

\varepsilon\text\delta 論法(連続)

任意の \varepsilon > 0 に対して ，ある \delta > 0 が存在し て，

さて最初に「任意の \varepsilon > 0 に対して」とあるので，まずはテキトーにデルタの定義 \varepsilon > 0 を取ってみましょう。

イプシロンデルタ論法のイメージ1

さて， \varepsilon > 0 は任意でしたから，もっと小さく取り直して みましょう。
すると，「これに応じて適切な」 \delta が再び存在します。このとき， |f(x)-f(a)| < \varepsilon の条件が「強くなった」分， \delta も必然的に小さくなる ことが分かるでしょう。

イプシロンデルタ論法のイメージ2

さらに \varepsilon > 0 をもっと小さくとって みましょう。再び「これに応じて」 \delta は小さく なり，図で描くと以下のようなイメージになります。

イプシロンデルタ論法のイメージその3

\delta> 0 が小さくなる \iff \varepsilon > 0 が小さくなる

|x-a| < \delta となる \delta >0 が小さくなるということは， x が a デルタの定義 に近づくことを意味し，
|f(x) - f(a) | < \varepsilon となる \varepsilon >0 が小さくなるということは， f(x) が f(a) に近づくことを意味しますから，
「ラフ」に言うと

x が a に近づく \iff f(x) が f(a) に近づく

以上を踏まえて， \varepsilon\text\delta 論法の「お気持ち」をまとめると，以下のようになります。

\varepsilon\text\delta 論法は，「 x が a に近づくと， f(x) が f(a) に近づく」ことを意味する！

これは高校のときにやった，「感覚的な極限の定義」に一致していますね。これが \varepsilon\text\delta 論法の意味の部分です。

具体例を用いて理解しよう

例題

\displaystyle \color \lim_ x^4 = 0 を証明せよ。

y=x^4 のグラフ

まずテキトーな ε を取って考えてみよう

\varepsilon \text \delta 論法を用いて，示すべきことを表現すると以下のようになります。

示すべきこと

任意の \varepsilon > 0 に対して，ある \delta> 0 が存在して，

実際に証明する前に，まずテキトーな \varepsilon > 0 を取って考えて，イメージをつけましょう。

まず，デルタの定義 \color \varepsilon = 1 としましょう。たとえば， \color\delta = 1 とすれば， |x|< \delta \implies |x^4| < \varepsilon. をみたしますね。
実際はもっと小さい \delta デルタの定義 を取ることもできますが，「存在する」は一つでも取ればよいため，一つだけ具体例を示せばよいです。

\varepsilon をもっと小さく取ってみましょう。 \color \varepsilon = 0.0001 とすると， \color \delta = 0.1 とすればOKです。 \color \varepsilon=0.00000001 とすると， \color \delta=0.01 とすればよいことが分かるでしょう。

このように，どんな \varepsilon を取ってきても，それに応じて \delta を選ぶことができます。このことを実際に証明してみましょう。

厳密に証明してみよう

示すべきこと

任意の \varepsilon > 0 に対して，ある \delta> 0 デルタの定義が存在して，

証明

\varepsilon>0 を任意に取る。このとき， \color \delta = \sqrt[4] とすると，

証明終

任意に取った \varepsilon > デルタの定義 0 に対し，条件をみたす \delta > 0 が「存在する」ことが示せたため，終わりました。

「存在する」はどうやって示したかというと，実際に \delta = \min\ と取りました。
このように， 「存在する」を示すときは，実際に具体的に取って見せるとよいです。

なお，今回は \delta = \sqrt[4] としましたが，もちろん \delta = \min\ などでも良いです。

\delta の取り方は \varepsilon に依存して良い のでした。実際，依存していますね。

ε-δ論法の同値な表現

さて，ここで重要な補足をしておきましょう。 \varepsilon\text\delta 論法の定義は，時と場合によって書き方が変わることがあります。

命題( \varepsilon\textN 論法の同値な表現)

理屈は \varepsilon\text N 論法のときと同じのため，省略します。

\varepsilon \text\delta 論法はいろいろな形で登場するため，どの形で登場しても対応できるようにしましょう。

ε-δ論法の否定

\varepsilon\text\delta 論法について，その否定，すなわち「 \lim_ f(x) =b でない」を考えたいときもあるでしょう。これの定義とお気持ちを述べましょう。

注意ですが，デルタの定義 「 \lim_ f(x) =b でない」とは，他の値に収束していても良いですし，振動していても別に良いです。

否定の定義

否定を取るときのポイントは， 主張における全ての「任意の」と「存在する」を入れ替える ことです。上の 5. の否定を取ると考えるのが分かりやすいでしょう。

命題（ \varepsilon\text\delta 論法の否定）

数列 f(x) が x \to a のとき b に収束しないとは，
ある \varepsilon > 0 が存在して，任意の \delta>0 に対し，ある |x-a|

デルタの定義 デルタの定義 デルタの定義

元の定義(上の5.を採用)	否定の定義
任意の \varepsilon > 0 に対して，	ある \varepsilon > 0 が存在して，
ある \delta > 0 が存在して，	任意の \delta> 0 に対して，
0<\|x-a\|<\delta をみたす任意の x に対して	ある 0<\|x-a\|<\delta をみたす x が存在して，
\|f(x) - b \| < \varepsilon.	デルタの定義 \|f(x) - b\| \ge \varepsilon.

「任意の」と「ある～が存在して」が真逆になっており，最後の不等号の向きも逆になっていますね。 デルタの定義

なお語順により， 否定の定義の3行目の x の取り方は， \varepsilon, \delta に依存して構いません。

否定のお気持ち

ε-δ論法の否定のお気持ちのイメージ

上は振動の例ですが，実際には「他の値に収束する」「 \pm\infty に発散する」という場合もあることに注意してください。

∞を含むε-δ論法の定義

さて，これまで扱ってきた定義は， a, b= \lim_ f(x) がともに有限であるものでした。では，無限大やマイナス無限大に発散する場合の定義はどうなるのかについて，表にまとめておきましょう。

表現	ε-δ論法による定義
\lim_ f(x) デルタの定義デルタの定義 = b	任意の \varepsilon>0 に対して，ある \delta > 0 が存在して， 0 < \|x-a\| < \delta \implies \|f(x) - b\| < \varepsilon.
\lim_ f(x) = \infty	任意の K >0 に対して，ある \delta > 0 が存在して， 0 < \|x-a\| < \delta \implies f(x) >K.
\lim_ f(x) = -\infty	任意の K >0 に対して，ある \delta > 0 が存在して， 0 < \|x-a\| < \delta \implies f(x)
\lim_ f(x) = b	任意の \varepsilon>0 に対して，ある L > デルタの定義 0 が存在して， x > L \implies \|f(x) - b\| デルタの定義 < \varepsilon.
\lim_ f(x) = b	任意の \varepsilon>0 に対して，ある L > 0 が存在して， x < -L \implies \|f(x) - b\| < \varepsilon.
\lim_ f(x) = \infty	任意の K>0 に対して，ある L > 0 が存在して， x > L \implies デルタの定義デルタの定義 f(x) > K.
\lim_ f(x) = -\infty	任意の K>0 に対して，ある L > 0 が存在して， x > L \implies f(x) < -K.
\lim_ f(x) = \infty	任意の K>0 に対して，ある L > 0 が存在して， x < - L \implies f(x) >K.
\lim_ デルタの定義 f(x) = -\infty	任意の K>0 に対して，ある L > 0 が存在して， x < - L \implies f(x) < -K.

\delta, \varepsilon は主に「微小量」を意味するため，「大きな変数」を意味する際には K, L, M, N,R などが用いられることが多いです。

\pm\infty を含む場合についての「お気持ち」の解説は行わないことにします。自分で理解してみましょう。数列の極限( \varepsilon\textN 論法)の方では無限大を含む場合についても扱っているため，そちらも参考になるかもしれません(→ イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に～数列の極限の定義～)。

左極限・右極限

左極限・右極限の定義

さて， x\to a と書いたときは， x < a と x>a の両側から近づけることを考えました。一方で，常に x< a をみたすように近づけることを x\to a- などとかき，これを左極限，逆に常に x> a をみたすように近づけることを x \to a+ などとかき，これを右極限と言います。

これも \varepsilon \text \delta 論法を用いて定義しておきましょう。

定義（左極限・右極限）

f\colon \mathbb \to \mathbb, デルタの定義デルタの定義 \, a\in \mathbb とする。このとき，

\lim_ f(x) = b, \quad f(x) \longrightarrow b \,\, (x\to a-)

任意の \boldsymbol 0> に対して，ある \boldsymbol < \delta >0> が存在して，

が成立することをいう。このときの b を x\to a - としたときの f の左極限 (left limit) という。

\lim_ f(x) = b, \quad f(デルタの定義デルタの定義 x) \longrightarrow b \,\, (x\to a+)

任意の \boldsymbol 0> に対して，あるデルタの定義 \boldsymbol < \delta >0> が存在して，

が成立することをいう。このときの b を x\to a + としたときの f の 右極限 (right limit) という。

なお， \color x \to a- の部分は \color x\to a-0, \,\, x\uparrow a などと書かれることもあります。同様に， \color x\to a+ は， \color x\to a+0, \,\, x\downarrow a と書いても同じ意味です。

定義より「左極限かつ右極限をもつ \implies 極限をもつ」 ことが従います。

左連続・右連続の定義

上記において， \lim_ f(x) = f(a) が成立するとき， f は a で 左連続 (left continuous) といい， \lim_ f(x) = f(a) が成立するとき，デルタの定義 右連続 (right continuous) といいます。

定義より，「左連続かつ右連続 \implies 連続」 であることが従います。

関数の極限の性質

定理（関数の極限の性質）

以下， f , デルタの定義 g \colon \mathbb \to \mathbb とし， a\in [-\infty,\infty],\, b, b_1, b_2 \in \mathbb とする。このとき，

myubi.tv

発熱反応では、生成物の総エネルギーが反応物の総エネルギーよりも小さいため、エネルギーが放出されます。このため、エンタルピーの変化ΔH、発熱反応の場合は常に負になります.

ネガティブHはエキソですか、それともエンドですか？

正のエンタルピーとはどういう意味ですか？

正のデルタHは吸熱性ですか？

吸熱反応は全体的に ポジティブ 反応熱（qrxn> 0）。 …吸熱反応で周囲から熱を吸収する反応物のシステムは、生成物のエンタルピーがシステムの反応物のエンタルピーよりも高いため、正のΔHを持ちます。

∆とは何ですか？

デルタ （/ ˈdɛltə /;大文字のΔ、小文字のδまたは？;ギリシャ語：δέλτα、délta、[ˈðelta]）はギリシャ語のアルファベットの4番目の文字です。

化学では三角形はどういう意味ですか？

物理学でどのようにデルタを見つけますか？

式 Δx= v 0 デルタの定義 t + 1 2 a t 2 \ Delta x = v_0 t + \ dfrac > at ^2Δx= v0t + 21at2delta、x、equals、v、開始添え字、0、終了添え字、t、プラス、開始分数、1、除算、2、終了分数、a、t、2乗はtrueである必要があります変位は曲線の下の総面積によって与えられる必要があるためです。

デルタは変化を意味しますか？

ほとんどの場合、大文字のデルタ（Δ） の「変更」または「変更」を意味します 数学。変数xがオブジェクトの動きを表す例を考えてみましょう。つまり、「Δx」は「動きの変化」を意味します。科学者は、科学のさまざまな分野でデルタのこの数学的意味を利用しています。

統計のデルタとは何ですか？

デルタは値の全体的な変化です。たとえば、特定の日の最低気温が55度で、最高気温が75度の場合、これにより20度のデルタが得られます。

オメガは終わりを意味しますか？

最後のギリシャ語のアルファベットの最後の文字として、オメガはしばしば最後を表すために使用されます、 セットの終わり、または究極の限界、アルファとは対照的に、ギリシャ文字の最初の文字。アルファとオメガを参照してください。

デルタは研究で何を意味しますか？

です 単に特定の量の違い、または変化。たとえば、デルタyと言うときは、yの変化またはyの変化量を意味します。判別式は、大文字のデルタの2番目に一般的な意味です。

デルタタンパク質とは何ですか？

Delta Proteinは、専門のアメリカ企業です。 高品質のコラーゲン加水分解物の製造とマーケティング.

三角形はデルタを意味しますか？

デルタは、 ギリシャ文字の4番目の文字。二等辺三角形（Δ）の記号が付いた大文字の形式と、上部に尾が付いた円（δ）が付いた小文字の形式で示されています。

正のデルタGはどういう意味ですか？

Delta uを負にすることはできますか？

同様に、ガスの温度Tが下がると、ガス分子の速度が低下し、 ガスの内部エネルギーUが減少します （これは、ΔU\DeltaUΔUが負であることを意味します）。 …同様に、温度が変化しなければ、内部エネルギーは変化しません。

∆ Hの値は何ですか？

生成物のエンタルピーが反応物よりも低い場合、ΔHは次のようになります。 ネガティブ。これは、反応が発熱性であることを意味します。 ∆Hを計算するには、標準生成エンタルピーの値（∆H_f°）。元素の生成熱は、分子であろうと原子であろうと、常にゼロです。

エンタルピーとはどういう意味ですか？

エンタルピーは、システムの熱力学的特性です。です システムの圧力と体積の積に追加された内部エネルギーの合計。これは、非機械的な作業を行う能力と熱を放出する能力を反映しています。エンタルピーはHで表されます。 hで表される特定のエンタルピー。

エンタルピーとエントロピーとは何ですか？

エンタルピーは化合物に含まれる内部エネルギーの量であり、エントロピーは化合物内の天然変性の量です.

エンタルピーはQと同じですか？

qは システムに伝達される熱量 一方、エンタルピーの変化を説明するために使用されます。エンタルピーは、システムのポテンシャルエネルギーの合計であり、システムとの間で伝達される熱に関連しています（q）。

吸熱性の動物は何ですか？

デルタhがゼロの場合はどうなりますか？

説明：それが本質的に意味するのは、 その過程で熱が失われたり得られたりすることはありませんでした。言い換えれば、反応物によって消費されるエネルギーは、生成物の形成によって放出された。

デルタHの正の値を持つのはどれですか？

正のΔHº値は 反応からの（そして周囲からの）エネルギーの追加、吸熱反応を引き起こします。 ΔHºの負の値は、反応から（および周囲への）エネルギーの除去を表すため、反応は発熱します。

吸熱性のイベントは何ですか？

吸熱プロセスは システムのエンタルピーH（または内部エネルギーU）の増加を伴うプロセス。このようなプロセスでは、閉鎖系は通常、周囲から熱エネルギーを吸収します。これは、システムへの熱伝達です。

記号Δ（デルタ）の意味とは？その計算法は？物理でよく出てくる記号Δについて解説

力学

さいとう

ただそれだけの話ですが、この「○○の変化量」という考え方が分からないと物理ができるようにはなりませんので、さらっと理解してしまいましょう。

$\Delta$とは何か

さいとう

この文字は「 ○○の変化量」を表しています。 $\Delta$とその直後につく文字はワンセットで考えます。例えば、 $\Delta s$であれば「$s$の変化量」ですし、 $\Delta t$であれば「$t$の変化量」です。

$\Delta$はその直後の文字の意味を表す記号 です。直後の文字と一つのかたまりで「 ○○の変化量 」という意味です。

「○○の変化量」はどのように表すのか

「○○の変化量」は$(変化後の量)-(変化前の量)$ で表されます。物理は自然現象の変化についてを見る学問ですから、この考え方はとても重要です。 $(あと)-(まえ)$ と覚えておくと覚えやすいでしょう。

補足：物理量
物理量とは物理的な意味を持つ量のことです。ここでは$○○\rm$とか$○○$秒（または$○○\rm$）のことだと思っていれば大丈夫です。物理量の例として長さとか質量とか時間とか電流とかがあります。詳しくは別の記事に書く予定です。

「○○の変化量」を計算するときはとにかく $(あと)$と$(まえ)$に気を付けてください。この記事でも、そしてこれからも、何回も登場します。

さいとう

さいとう

さいとう

さいとう

クロネッカーのデルタとディラックのデルタ関数

自然科学

クロネッカーのデルタは、条件分岐を数式上で表現できる非常に便利な関数である。

クロネッカーのデルタは離散的な変数（自然数の集合など）に対して用いられるが、これを連続変数に対して拡張したものがディラックのデルタ関数である。

クロネッカーのデルタ

$$\sum_\delta_a_j=a_i$$

$$\sum_a_i\delta_=a_j$$

$$\sum_\delta_\delta_=\delta_$$

ディラックのデルタ関数

定義その１

定義その２（簡単）

$$\int_<-\infty>^<\infty>f(x)\delta(x-a)dx=f(a)$$

$$\delta(-x)=\delta(x)$$

$$\delta(x)=\frac<2\pi>\sum_^<\infty>e^$$

$$\delta(デルタの定義 ax)=\frac\delta(x)\,(a>0)$$

性質1.の解説

性質2.の解説

性質3.の解説

性質4.の解説

現在の平均評価 0 / 5. 評価した人数： 0

コメントをどうぞコメントをキャンセル

この記事を読んだ人はこれも読んでいます

PRML10章演習10.39解答

有界な分布（一様分布）を用いたEMアルゴリズム

導入以前にて、 EMアルゴリズムを適用するに際し、一様分布のような明確な境界を持つ分布を使用すると、少し特殊な配慮が必要になると述べた。本記事では、実践を通して、こうした有界な分布を用いたEMアルゴリズムがどのように失敗するか.

ルジャンドル多項式の定義と性質（2/3）

定義で定義された関数 $P_(x)$ を、ルジャンドル（Legendre）多項式という。また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数の係数として定義することもできる。デルタの定義性質ルジャンドル多項.

シーザー暗号解読器・改～単語リストを用いた解読～

異常検知における異常度の定義

指数分布の最尤推定とパラメータ変換、乱数生成

Search

Feedlyで更新情報をフォロー

艮製作所主宰統計検定１級 / 医師

大学院医学部にて、統計プログラミングを駆使して臨床・基礎の知見を技術応用するとともに、省庁や地方自治体、企業のプロジェクトにて技術指導を行っている。好きな言語は Rust と Python 。

関連記事

クロス取引まとめ

クロス取引まとめ

信用取引とは

信用取引とは

仮想通貨はビジネスに使えるものでしょうか

仮想通貨はビジネスに使えるものでしょうか